استراتژی حل مسئله

 وقتی استقبال بی‌نظیر شما دوستان عزیز را برای رقابت در المپیاد ریاضی نوجوانان ایران که موسسه فرهنگی و آموزشی مبتکران برگزار می‌کند، دیدیم، بر آن شدیم مطلبی مرتبط برای شما عزیزان قلم بزنیم تا سهمی کوچک در موفقیت‌های چشمگیر شما در تیم‌های المپیاد ریاضی ایران در عرصه‌های داخلی و بین‌المللی داشته باشیم. در رقابت‌های المپیاد‌های ریاضی سوال‌ها در شاخه‌های مختلف و گوناگون ریاضی طرح می‌شود و هدف از آن‌ها تعالی دانش‌آموزان با حل مسائلی در سطوح بالاتر، افزایش قدرت خودآموزی ریاضی بدون معلم، افزایش مهارت‌های حل مساله، افزایش خلاقیت و مهارت استدلال و تفکر منطقی است.
در سال 1980 پیتر هالورن، معلم ریاضی استرالیایی و بانی AMOC (کمیته المپیاد ریاضی استرالیا)، مسابقه ریاضی‌ای برای دانش‌آموزان پایه‌های مختلف (از دوم دبستان تا سال آخر دبیرستان) راه‌اندازی کرد. این مسابقه به گروه خاصی از دانش‌آموزان تعلق نداشت، بلکه هرکس با هر سطحی از توان ذهنی می‌توانست در این مسابقه (البته در پایه مربوط به خودش) شرکت کند. سوال‌ها در حیطه حساب، جبر، هندسه و منطبق با دانش ریاضی بود که دانش‌آموزان هر پایه بر آن اشراف داشتند. سال 1991 این ایده در پاریس مورد توجه قرار گرفت و این مسابقه در آن کشور نیز برگزار شد. این مسابقه به سرعت در بسیاری از کشورهای دیگر مورد استقبال قرار گرفت و کشورهای دیگری نیز به این مسابقه پیوستند. در حال حاضر هر ساله بیش از 50 میلیون نفر از 50 کشور دنیا در این مسابقه شرکت می‌کنند. از آن‌جایی که این طرح اولین بار در کشور استرالیا برگزار شد، نام کانگورو بر آن گذاشته شد.

این مسابقه معمولا در سومین پنج‌شنبه مارس (اردیبهشت) هر سال برگزار می‌شود. در پاییز همان سال کنفرانسی در یکی از کشور‌های شرکت کننده، برگزار می‌شود که ریاضی‌دانان و متخصصان کشورهای مختلف در این کنفرانس شرکت می‌کنند و سوال‌های مسابقه سال بعد را طرح و انتخاب خواهند کرد.
این مسابقه در 75 دقیقه، با 30 سوال تستی پنج گزینه‌ای برگزار می‌شود. المپیاد ریاضی نوجوانان ایران (مبتکران) هم منطبق با استانداردهای همین مسابقه است.
المپیاد جهانی ریاضی IMO یک المپیاد ریاضی سالانه است که برای دانش‌آموزان مقطع دبیرستان برگزار می‌شود و قدیمی‌ترین المپیاد علمی جهان است. نخستین المپیاد جهانی ریاضی در سال 1959 در کشور رومانی برگزار شد و به‌جز سال 1980، هر ساله ادامه داشته است. حدود 100 کشور در تیم‌هایی حداکثر شش نفره از دانش‌آموزان در این مسابقه شرکت می‌کنند. وضعیت انتخاب سوال‌های آزمون المپیادهای جهانی به این شکل است که حدود 2 ماه قبل از آزمون، هر کشور حداکثر 6 سوال پیشنهادی خود را به کشور میزبان ارسال می‌کند و کشور مربوطه پس از بررسی کیفیت سوال‌ها و تحلیل آن‌ها، از بین سوال‌های ارسالی، نزدیک به 28 سوال را با عنوان (Short List) انتخاب می‌نماید. در زمان شروع المپیاد جهانی، سرپرستان کشورها با رای‌‌گیری، شش سوال آزمون جهانی را انتخاب می‌کنند که سوال ششم هم معمولا سخت‌ترین سوال آزمون است.

(شایان ذکر است که در سی و هشتمین، چهل و پنجمین و پنجاه و یکمین المپیاد جهانی ریاضیات به ترتیب سوال‌های 4، 6 و 6 توسط کشور ما طراحی شده بود. ایران به نحوی شایسته در طراحی سوال‌های جهانی همکاری می‌نماید).
هم‌اکنون المپیادهای جهانی ریاضی، 75 نفر «مساله‌ حل‌کن‌های حرفه‌ای» دارد. با وجود این در انتخاب مسائل از آسان به سخت دچار اشتباهاتی می‌شوند، حتی نظریات 400 نفر شرکت کننده در مسابقات هم دچار شک و تردید است؛ چون آسانی و سختی مسائل به آموزش‌های دیده شده قبلی در دوره‌های آموزشی که به وسیله مربیان و سرپرستان برگزار شده بستگی دارد. (یک مساله بسیار پیچیده زمانی که لم ِ به کار رفته در آن در گذشته شناخته شده باشد، به مساله پیش‌پا افتاده‌ای تبدیل می‌شود).
چند وقت پیش بود که کتاب استراتژی‌های حل مساله به دستم رسید. وقتی بازش کردم مقدمه‌ شیرینی داشت: «شما می‌توانید با حل مساله، حل مساله را بیاموزید، به دنبال طرحی مشخص در مسائل باشید و ...» وقتی با مساله زیبایی روبه‌رو می‌شویم در ابتدا مجذوب خلاقیت و نبوغ نهفته در آن می‌شویم. انسان همیشه خواستار حل مسائل جدید یا مسائل قدیمی با راه حل‌های جدید است. شما خودتان هم حتما تا به حال این را تجربه کرده‌اید که وقتی با یک مساله جدید رو‌به‌رو می‌شوید، حل مساله ذهن‌مان را مشغول می‌کند. سپس در مرحله بعدی الگوریتم و مسیری که برای به‌دست آوردن جواب باید طی کنیم در ذهن شکل می‌گیرد، این همان چیزی است که در ریاضیات به عنوان استراتژی حل مساله از آن یاد می‌کنیم. این بود که تصمیم گرفتم چند نکته اصلی در حل مساله‌های رقابتی را با عنوان استراتژی حل مساله بیان کنم.
 واژه استراتژی که اکنون در زبان فارسی از آن به «راهبرد» تعبیر می‌شود، یونانی و ریشه آن «استراتژیا» (Strategia) به معنای «فرماندهی و رهبری» است که در عرصه‌های نظامی، اقتصادی، تجاری و حتی زندگی روزمره افراد عادی کاربرد فراوانی دارد. استراتژی، چگونگی دستیابی به اهداف را مشخص می‌کند و با این نکته کاری ندارد که اهداف چه چیز هستند یا چه باید باشند یا چگونه باید تعیین شوند.

بنابراین کار استراتژی پر کردن شکاف بین اهداف و تاکتیک‌ها است.
معمولا در حل مسائل موارد زیر برای‌تان پیش می‌آید:
ابتدا یک راه حل در ذهن‌تان شکل می‌گیرد و به صورت ایده ظاهر می‌شود. سپس راه حل مورد نظر به جزو‌های کوچک تفکیک و الگوریتم اولیه آن نوشته می‌شود. در اکثر موارد، این الگوریتم اولیه دچار نقایص ریز یا درشت است؛ قسمت بعدی، اجرای مرحله به مرحله الگوریتم است که به آن (Desk Check) می‌گویند. پس از این‌که این کار انجام شد، احیانا اشکالاتی از الگوریتم مشخص می‌شود. این اشکالات را تصحیح کرده و دوباره روندی از اجرای مرحله به مرحله را انجام می‌دهیم. چرخه تا جایی ادامه پیدا می‌کند که خطایی باقی نماند.
«دقت کنید که طرح راه حل، بدون توجه به روند صحیح آن می‌تواند باعث صرف هزینه زمانی بسیار زیادی برای رفع اشکال شود که این مساله برای دوستان المپیادی اهمیت ویژه‌ای دارد. بعد از آگاهی از کلیت روند حل مساله به بررسی استراتژی‌ها می‌پردازیم.

استراتژی اولیه: جستجوی قواعد ثابت
اگر شاهد تکرار بودید، به دنبال یک قاعده ثابت بگردید. با حل چند مثال، روش کلی حل مساله را به‌دست خواهید آورد و می‌بینید که گاهی اوقات مسائلی که در ظاهر بسیار پیچیده‌اند، چه باطن ساده‌ای دارند. در حقیقت روش حل مساله را تنها با حل مساله می‌توان آموخت. بنابراین، توصیه می‌کنیم پس از مشاهده هر سوال، ابتدا سعی کنید خودتان آن را حل کنید و بعد حل کتاب را ببینید.

استراتژی دوم: استفاده از اطلاعات ذهنی
ریاضی‌دان ورزیده مجهز به یک سری اصول و فنون با دامنه کاربرد وسیع و ساده است که می‌تواند از آن‌ها در حالت‌های مختلف استفاده نماید. این اصول و فنون وابسته به موضوعی ویژه نبوده و در کلیه شاخه‌های ریاضی قابلیت استفاده دارند. ریاضی‌دان به این اصول فکر نمی‌کند، بلکه به‌طور ناخودآگاه از آن مطلع است.

استراتژی سوم: زیاد مساله حل کردن
بعضی از مسائل به آماده‌سازی وسیعی نیاز دارند اما پیش‌نیازهای آن‌ها بسیار محدودند. راه‌کار این نوع سوال‌ها با زیاد مساله حل کردن حاصل می‌شود. شاید بعضی از تمرین‌ها برای شما بسیار پایین‌تر از حد یک مسابقه معمولی باشد ولی اگر شما اکثر مسائل را حل کنید، برای هر رقابتی آماده خواهید شد.

استراتژی چهارم: بازی‌های نیم  (NIM) :
(بازی نیم: یک بازی قدیمی است که با وجود سادگی ظاهری، ریاضیات عمیق و جذابی دارد، به این صورت که تعدادی مهره در چند دسته مختلف موجود است، هر بازیکن در نوبت خود می‌تواند از یکی از دسته‌ها به تعداد دلخواه مهره بردارد. برنده کسی است که آخرین مهره را برمی‌دارد. این بازی امروزه مدل‌های متنوع و بیشتری پیدا کرده‌ است.)
برخی از مسائل رقابتی در هیچ دسته‌بندی جای نمی‌گیرند ولی بازی‌های نیم که در بیشتر المپیاد‌ها از آن‌ها سوال طرح می‌شود، تقریبا از قاعده زیر پیروی می‌کنند.
مجموع تمام حالت‌های بازی را به دوتایی‌هایی تقسیم می‌کنیم که حرکت از عضو اول هر دوتایی به عضو دوم ممکن باشد. هر وقت حریف ما در وضعیت اول یک دوتایی قرار می‌گیرد، ما طوری حرکت می‌کنیم که حریف در وضعیت دوم قرار گیرد. بنابراین ما برنده می‌شویم زیرا با این ترتیب همیشه حرکتی برای انجام دادن داریم. «در ضمن دقت داشته باشید که بین دوتایی‌ها اشتراکی موجود نیست». در ابتدا اگر حالتی وجود دارد که بدون جفت است، ما باید آن را اشغال کنیم، در غیر این‌صورت برای برنده شدن حتما باید بازیکن دوم باشیم. در بازی‌های پیچیده‌تر معمولا باید جدولی برای حالت‌های برد و باخت بسازیم.
در انتها این نکته را یادآور می‌شویم که گستره‌ ریاضیات بسیار فراتر از آن است که بخواهیم در چند سطر یا یک مقاله، تنوع سوال‌های مسابقات و المپیادها را بررسی و تقسیم‌بندی کنیم. در این مطلب سعی شد تاریخچه‌ای از این مسابقات و ایده‌های ضروری حل مسائل را برای تمام کسانی که علاقه‌مند به حل مسائل جالب و متنوع می‌باشند، هرچند مختصر مطرح کنیم.

امیدواریم که این مطلب راهی باشد برای رسیدن به موفقیت‌های بزرگ‌تر. مشاور: مینا آزاد (کارشناس ریاضیات)